Extension au calcul quantique d’une méthode d’adaptation de maillage pour la méthode des éléments finis

Projet de stage (premier semestre 2023) en vue d’une thèse CIFRE avec Thales Research and Technology

Extension au calcul quantique d’une méthode d’adaptation de maillage pour la méthode des éléments finis

Mots Clés : Calcul Quantique, Equation aux Dérivées Partielles, Electromagnétisme, Eléments Finis, Maillage adaptatif

Contacts : nicole.spillane@cmap.polytechnique.fr, michel.nowak@thalesgroup.com

• Contexte

La conception de dispositifs de détection avancés est complexe et leur qualité est aujourd’hui limitée par la puissance de calcul disponible. L’objectif est de simuler le champ électromagnétique en tout point de l’espace des phases afin de déduire des grandeurs caractéristiques du dispositif de détection. Les industriels dépensent un nombre d’heure de calcul conséquent pour effectuer ces simulations et poussent la recherche dans des directions qui réduiraient ce coût.

Depuis un certain nombre d’années, l’essor de l’informatique quantique promet des accélérations conséquentes pour certaines classes d’algorithmes. Les algorithmes de simulation de système physiques pouvant se formuler sous la forme d’une équation différentielle partielle n’y échappent pas et sont en cours d’exploration. Les constructeurs de calculateurs quantiques accélèrent leurs développements et les industriels se préparent à les prendre en main.

• Problématique et objectifs

Afin de résoudre les équations de Maxwell avec des conditions aux limites imposées, la méthode des éléments finis reste la méthode déterministe de référence [1]. Elle consiste à produire un système d’équations à partir d’une discrétisation de l’espace des phases et en intégrant les équations gouvernant la répartition du champ.

En 2009, un algorithme de résolution de systèmes linéaires a été proposé dans le formalisme quantique [2]. Sous certaines hypothèses l’algorithme promet des accélérations exponentielles par rapport à l’approche classique lorsque l’on s’intéresse à des tailles de maillage élevées. Le nombre de ressources à allouer pour exécuter cet algorithme est donc conséquent et a déjà été estimé pour un cas d’usage bien ciblé [3].

Cette méthode a été revue au regard des spécificités de la méthode des éléments finis [4]. Elle suppose que l’on a défini un maillage support de la solution voulue. La phase d’exploration qui consiste à fixer ce maillage est généralement très coûteuse en temps de calcul. Elle nécessite en effet de réévaluer la solution itération après itération. Afin d’accélérer cette phase de développement, des méthodes automatiques ont été mises en place. Ces méthodes permettent par exemple de générer les maillages de manière adaptative [5]. L’objectif du stage est de porter une de ces méthodes d’adaptation de maillage au formalisme quantique introduit par [4].

• Encadrement

Centre de Mathématiques Appliquées de Polytechnique (CMAP)
Le CMAP est une unité mixte de recherche du Centre national de la recherche scientifique (CNRS) et de l’École polytechnique. Il est implanté sur le site de l’École polytechnique à Palaiseau. Les domaines de recherche du CMAP sont les mathématiques en liaison étroite avec des problématiques posées en physique, mécanique, chimie, biologie, santé, finance… Les membres de l’équipe “EDPs pour la physique” se spécialisent plus précisément dans la modélisation, l’analyse mathématique, et la simulation de phénomènes représentés par des équations aux dérivées partielles (EDPs). Un intérêt particulier est porté au calcul haute performance à travers notamment l’initiative HPC@Maths. Ainsi les chercheurs et chercheuses du CMAP développent une nouvelle génération d’algorithmes et de méthodes numériques pour les architectures de calcul d’aujourd’hui et de demain.

Thales Research and Technology (TRT)
En France, le pôle de recherche et développement de Thales – Thales Research and Technology (TRT) – se situe à Palaiseau. L’objectif de TRT est d’effectuer le travail de recherche sur des thématiques qui pourraient bénéficier aux unités commerciales du groupe. Ce travail en amont s’accompagne d’une phase de développement d’outils logiciels permettant aux autres équipes d’accélérer les phases de conception. Depuis 2020, et avec une vision à long terme, TRT s’intéresse aux enjeux du calcul quantique afin de pouvoir accompagner les équipes métier à introduire cette technologie au sein de leurs processus. Pour cela, TRT s’allie à des partenaires académiques afin de consolider plus rapidement les pistes de recherche et les diriger vers la proposition d’algorithmes théoriques.

Ce stage est susceptible de déboucher sur une thèse CIFRE.

Références
 

[1]
A. Logg, K.-A. Mardal et G. Wells, Automated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book, vol. 84, Springer Science & Business Media, 2012.
[2]
A. W. Harrow, A. Hassidim et S. Lloyd, «Quantum algorithm for linear systems of equations,» Physical review letters, vol. 103, n° %115, p. 150502, 2009.
[3]
A. Scherer, B. Valiron, S.-C. Mau, S. Alexander, E. Van den Berg et T. E. Chapuran, «Concrete resource analysis of the quantum linear-system algorithm used to compute the electromagnetic scattering cross section of a 2D target,» Quantum Information Processing, vol. 16, n° %13, pp. 1-65, 2017.
[4]
A. Montanaro et S. Pallister, «Quantum algorithms and the finite element method,» Physical Review A, vol. 93, n° %13, p. 032324, 2016.
[5]
P. Morin, R. H. Nochetto et K. G. Siebert, «Convergence of adaptive finite element methods,» SIAM review, vol. 44, n° %14, pp. 631-658, 2002.